Finał XXXVII Konkursu Uczniowskich Prac z Matematyki (sala 107)

Finaliści
Justyna Czyżewska - "Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów"
Wojciech Niewiara, Michał Stach, Piotr Sikorski, Tobiasz Szemberg - "Kolorowanie płaszczyzny"
Tomasz Przybyłowski - "O budowaniu"
Filip Rękawek - "O równobocznym trójkącie kappa i jego własnościach"
Krzysztof Zamarski - "Ciągi komplementarne"
Michał Zawalski - "Uogólnione Twierdzenie Grunbauma"

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Justyna Czyżewska (Gimnazjum nr 13 im. Stanisława Staszica w Warszawie, opiekun Wojciech Guzicki)
Spróbujmy każdy punkt płaszczyzny pomalować na pewien kolor w taki sposób, aby każda prosta była jednokolorowa lub dwukolorowa. Jaka jest największa możliwa liczba kolorów, których można użyć do pomalowania punktów tej płaszczyzny? To tylko jeden rodzaj nietypowego kolorowania, który zostanie poruszony podczas krótkiej prelekcji.

Kolorowanie płaszczyzny
Wojciech Niewiara, Michał Stach, Piotr Sikorski, Tobiasz Szemberg (7 LO im. Zofii Nałkowskiej w Krakowie, Gimnazjum im. Jana Matejki w Zabierzowie, opiekun Tomasz Szemberg)
Istnieje wiele problemów związanych z kolorowaniem płaszczyzny. Obok słynnego problemu czterech kolorów (czy każdą mapę można pokolorować czterema kolorami tak, aby dwa sąsiednie państwa były różnych kolorów), najbardziej znany wydaje się problem sformułowany przez Hadwigera i Nelsona: jaka jest najmniejsza liczba kolorów potrzebnych do tego, by pokolorować płaszczyznę w ten sposób, że dowolne dwa punkty, których odległość wynosi 1 nie mają tego samego koloru.
Odpowiedź na to pytanie nie jest znana!
Wiadomo, że jest nią liczba ze zbioru {4, 5, 6, 7}. Podczas prelekcji nie zostanie podana odpowiedź, przedstawiony zostanie jednak problemem tematycznie podobnym.

O budowaniu
Tomasz Przybyłowski (Zespół Szkół Uniwersytetu Mikołaja Kopernika Gimnazjum i Liceum Akademickie w Toruniu, opiekun Henryk Pawłowski)
Z twierdzeniem Pitagorasa wszyscy się znamy, budowanie kwadratów na bokach trójkąta prostokątnego nie jest niczym nadzwyczajnym. W tej kwestii nie tylko kwadraty są wyjątkowe. Niektóre figury konstruowane na bokach dowolnego trójkąta również związane są ciekawymi własnościami.

O równobocznym trójkącie kappa i jego własnościach
Filip Rękawek (Gimnazjum im. C. K. Norwida w Garwolinie, opiekun Aneta Gałkowska)
Trójkąt kappa – trójkąt utworzony przez półproste wychodzące z wierzchołków trójkąta równobocznego i przecinające jego przeciwległe boki, tak że okrąg opisany na tym trójkącie jest jednocześnie okręgiem wpisanym w trójkąt równoboczny. Trójkąt kappa ma wiele ciekawych własności.

Ciągi komplementarne
Krzysztof Zamarski (V Liceum Ogólnokształcące im. Augusta Witkowskiego w Krakowie, opiekun Jacek Dymel)
Ciągi komplementarne są ciągami, które uzupełniają się wzajemnie do zbioru liczb naturalnych. Szersze wyjaśnienie, sposób generowania takich ciągów oraz ich własności zostaną omówione podczas krótkiej prelekcji.

Uogólnione Twierdzenie Grunbauma
Michał Zawalski (XIV Liceum Ogólnokształcące im. Stanisława Staszica w Warszawie, opiekun Piotr Nayar)
Tematyka obejmuje ważne pojęcia współczesnej geometrii.